タクシーキャブ幾何学：L1距離が切り開く新しい空間認識
マンハッタン幾何学の距離概念タクシーキャブ幾何学（マンハッタン幾何学）は、通常のユークリッド距離を排し、2点間の距離を座標の絶対差の和として定義する幾何学です。
これは「タクシーキャブ距離」またはL1距離とも呼ばれ、碁盤の目状の都市における移動をシミュレートしています。
この定義により、球の形状は円形ではなく、n次元における正八面体（クロスポリトープ）のような多面体になります。
例えば2次元では、円は対角線上に配置された正方形となります。
この距離概念は幾何学的な研究だけでなく、LASSOなどの回帰分析手法としても応用されています。
普段私たちが慣れ親しんでいる「ユークリッド幾何学」（直線距離や円）とは異なる考え方をする数学的な概念として、「タクシーキャブ幾何学」が存在します。これは、大都市の碁盤の目状の道路を走るタクシーの移動経路をモデルにしたもので、距離の定義そのものを変える、非常に興味深い分野です。本記事では、このタクシーキャブ距離が具体的にどのような仕組みで、どのような分野で応用されているのかを解説します。
距離の定義が根本的に異なる仕組み
タクシーキャブ幾何学（マンハッタン幾何学とも呼ばれます）では、二点間の距離を、座標軸に沿って移動する最短経路の合計として定義します。これは、私たちが普段使っている直線距離（ユークリッド距離）とは異なり、斜めに移動することができないという制約を課しているためです。例えば、マンハッタンのような碁盤の目状の都市では、この「市街地ブロック距離」が適用されます。
この定義により、同じ座標上の二点間でも、ユークリッド距離では短い経路が存在するのに対し、タクシーキャブ距離では常に「グリッド（格子）経路」の長さが距離となります。これは、距離の概念自体を再構築する試みと言えます。
数学・データサイエンスにおける応用分野
このタクシーキャブ距離（L1距離とも呼ばれます）は、単なる幾何学の概念にとどまらず、実用的な科学分野で広く利用されています。特に、統計学における回帰分析の分野で、18世紀から用いられてきた歴史があります。これは「LASSO」という手法の幾何学的解釈としても知られています。
L1距離を用いることで、モデルのパラメータをよりスパース（疎）に保つ効果があり、不要な特徴量を自動的に排除する能力があります。つまり、データの中から最も重要な情報だけを抽出する際の強力なツールとして機能しているのです。
幾何学的な特徴と構造的性質
タクシーキャブ距離は、ユークリッド空間の上に重ねられた追加的な構造として捉えることができます。この距離は、座標系の向きには依存しますが、平行移動や軸に沿った反射に対しては影響を受けません。なお、この幾何学は、ユークリッド幾何学が満たすヒルベルトの公理のほとんどを満たしますが、角度の等しさ（合同性）の定義がユークリッド幾何学と完全に一致しないという特徴があります。また、球体の形状も、通常の円形ではなく、正八面体のような多面体として現れます。
まとめ
タクシーキャブ幾何学は、私たちの日常的な感覚とは異なる距離の定義を持ちながらも、データサイエンスや高度な数学の分野で重要な役割を果たしています。このように、異なる「距離」の概念が、いかに多様な現象を説明し、技術革新を支えているかがわかります。
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From Wikipedia, the free encyclopedia
In taxicab geometry, the lengths of the red, blue, green, and yellow paths all equal 12, the taxicab distance between the opposite corners, and all four paths are shortest paths. Instead, in Euclidean geometry, the red, blue, and yellow paths still have length 12 but the green path is the unique shortest path, with length equal to the Euclidean distance between the opposite corners, 6√2 ≈ 8.49.
Taxicab geometry or Manhattan geometry is geometry where the familiar Euclidean distance is ignored, and the distance between two points is instead defined to be the sum of the absolute differences of their respective Cartesian coordinates, a distance function (or metric) called the taxicab distance, Manhattan distance, or city block distance. The name refers to the island of Manhattan, or generically any planned city with a rectangular grid of streets, in which a taxicab can only travel along grid directions. In taxicab geometry, the distance between any two points equals the length of their shortest grid path. This different definition of distance also leads to a different definition of the length of a curve, for which a line segment between any two points has the same length as a grid path between those points rather than its Euclidean length.
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